Question

7．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系随机统计了某4天的用电量与当天气温

气温（℃）	14	12	8	6
用电量	22	26	34	38

（1）求用电量y与气温x之间的线性回归方程，
（2）由（1）的方程预测气温为5℃时，用电量的度数．
参考公式：$\begin{array}{l}b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x}）（{y_i}-\overline y）}}{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x}{）^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \overline a=\overline y-b\overline x\end{array}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（2）将x=5代入线性回归方程，可估计气温为5℃时，用电量的度数．

解答 解：（1）由对照数据，计算得$\sum _{i=1}^{4}$x_i=40，$\sum _{i=1}^{4}$y_i=120，$\overline{x}$=10，$\overline{y}$=30，
∴回归方程的系数为b=$\frac{\sum _{i=1}^{4}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum _{i=1}^{4}{（{x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{-80}{40}$=-2，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=30+2×10=50，
∴所求线性回归方程为$\hat{y}$=-2x+50；
（2）由（1）得用电量y与气温x之间的线性回归方程$\hat{y}$=-2x+50；
当x=5时，$\hat{y}$=-2×5+50=40；
即气温为5℃时，用电量的度数约为40度．

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题出现在高考卷中．