Question

已知正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AA₁=AB=a，D是CC₁的中点，F是A₁B的中点，A₁D与AC的延长线交于点M（如图），
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AF⊥BD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，FE，由已知得EFDC是平行四边形，由此能证明DF∥平面ABC．
（Ⅱ）由已知得CE⊥AB，CE⊥AA₁，CE⊥平面ABA₁，CE⊥AF，从而DF⊥AF，由AA₁=AB=a，F是A₁B的中点，得AF⊥A₁B，从而AF⊥平面A₁BD，由此能证明AF⊥BD．

解答： （Ⅰ）证明：取AB中点E，连结CE，FE，
由已知得EF∥CD，且EF=CD，
∴EFDC是平行四边形，
∴DF∥CE，
∵DF不包含于平面ABC，CE?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（Ⅱ）证明：∵正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，E是AB中点，
∴CE⊥AB，CE⊥AA₁，
又AB∩AA₁=A，∴CE⊥平面ABA₁，
∴CE⊥AF，
∵DF∥CE，∴DF⊥AF，
∵AA₁=AB=a，D是CC₁的中点，F是A₁B的中点，
∴AF⊥A₁B，
又DF∩A₁B=F，∴AF⊥平面A₁BD，
∵BD?平面A₁BD，∴AF⊥BD．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．