Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AB=3

2

，AC=3，∠CAB=90°，P、Q分别为棱BB₁、CC₁上的点，且BP=

1

3

BB₁，CQ=

2

3

CC₁．
（1）求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小．
（2）在线段A₁B（不包括两端点）上是否存在一点M，使AM+MC₁最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,多面体和旋转体表面上的最短距离问题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出平面APQ与面ABC所成的锐角大小．
（2）沿A₁B将面A₁BC₁与面A₁BA展开，连结AC₁与A₁B交于M，此时AM+MC₁有最小值．由此能求出存在点M，使AM+AC₁取最小值为3

5

．

解答： 解：（1）建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，
A（0，0，0），P（3

2

，0，

2

），Q（0，3，2

2

）．
设平面APQ的一个法向量为

n1

=（x，y，z），

n1 • AP =3 2 x+ 2 z=0 n1 • AQ =3y+2 2 z=0

，
令z=3，得

n1

=（-1，-2

2

，3），
平面ABC的一个法向量

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

3

1+8+9

=

2

2

，
∴平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45°．…（6分）
（2）沿A₁B将面A₁BC₁与面A₁BA展开，
连结AC₁与A₁B交于M，此时AM+MC₁有最小值．
∵∠A₁AB=90°，AA₁=AB，∴∠A₁AB=45°，
又C₁A₁⊥面ABB₁A₁，∴C₁A₁⊥A₁B．
∴△AA₁C₁中，∠AA₁C₁=135°，
AC₁=

AA12+A1C12-2AA1•A1C1•cos135°

=

18+9+18

=3

5

，
∴存在点M，使AM+AC₁取最小值为3

5

．

点评：本题考查平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小的求法，考查在线段A₁B（不包括两端点）上是否存在一点M，使AM+MC₁最小的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．