Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，若关于角B的不等式cos2B-2mcosB+2＞0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质,正弦定理

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：根据余弦定理表示出cosB，再根据基本不等式，可得

1

2

≤cosB＜1．将关于B的表达式化简，分离参数，利用基本不等式，可得结论．

解答： 解：∵b²=ac
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
当且仅当a=b=c时，cosB=

1

2

，
∴

1

2

≤cosB＜1
cos2B-2mcosB+2=2cos²B-2mcosB+1＞0
∴2m＜2cosB+

1

cosB

，
∵

1

2

≤cosB＜1，
∴2cosB+

1

cosB

的最小值为2

2

∴2m＜2

2

，
∴m＜

2

故m的取值范围是（-∞，

2

）．

点评：本题主要考查余弦定理和基本不等式的应用．对三角函数求解得问题时要先对其原函数进行化简．