Question

如果椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上任意两点连线的垂直平分线与x轴相交于点P（x₀，0），求x₀的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对直线AB的斜率分类讨论，当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，设直线AB的方程为y=kx+m．与椭圆方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得出线段AB的中点，进而得出垂直平分线的方程，即可得出．

解答： 解：设椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上任意两点为A，B，则
①当AB∥x轴或与x轴重合时，此时k_AB=0，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（0，0）；
②当AB⊥x轴时，此时线段AB的垂直平分线为x轴，此时不符合题意，应舍去；
③当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，设直线AB的方程为y=kx+m．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入椭圆

x2

16

+

y2

4

=1，化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
∵△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-16）＞0，化为-m²+4+16k²＞0（*）．
∴x₁+x₂=-

8km

1+4k2

．
设线段AB的中点为M（x_M，y_M）．则x_M=-

4km

1+4k2

，y_M=kx_M+m=

m

1+4k2

．
线段AB的垂直平分线的方程为y=-

1

k

（x-x₀），
把点M的坐标代入可得

m

1+4k2

=-

1

k

（-

4km

1+4k2

-x₀），
∴m=-

x0(1+4k2)

3k

，代入（*）得x02＜

36k2

1+4k2

．
令f（k）=

36k2

1+4k2

=

36

1 k2 +4

，则0＜f（k）＜9
∴x02＜9．
∴-3＜x₀＜3．
综上可知：x₀的取值范围是（-3，3）．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等是解题的关键．