Question

已知△ABC的内角A、B、C所对的边且a、b、c，且满足bcosC=（3a-c）cosB，若

BC

•

BA

=4，b=4

2

，求边a、c的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：利用正弦定理由bcosC=（3a-c）cosB，得sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，根据三角恒等变换可求得cosB=

1

3

．由

BC

•

BA

=4，b=4

2

，可得ac=12．①．再由余弦定理可得b²=32=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-

2

3

ac，与①联立可解．

解答： 解：在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，
∴3sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．
∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=

1

3

．
由

BC

•

BA

=4，b=4

2

，可得，a•c•cosB=4，即 ac=12．①．
再由余弦定理可得 b²=32=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-

2

3

ac，即 a²+c²=40，②．
由①②求得a=2，c=6； 或者a=6，c=2．
综上可得，a=2，c=6； 或者a=6，c=2．

点评：本题考查平面向量数量积运算、正弦定理余弦定理，考查方程思想，属中档题．