Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=

2an

an+2

，
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）猜想{a_n}的通项公式，并证明．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据递推式，依次进行求解即可．
（2）利用取倒数法进行求解即可得到结论．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=

2an

an+2

，
∴a2=

2•2

2+2

=1，a3=

2•1

1+2

=

2

3

，a4=

2• 2 3

2 3 +2

=

1

2

．
（2）∵a₂=1=

2

2

，a₃=

2

3

，a₄=

1

2

=

2

4

，
∴猜想an=

2

n

，
证明：∵a₁=2，a_n+1=

2an

an+2

，
∴两边取倒数得：

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
即{

1

an

}是以首项

1

a1

=

1

2

，公差d=

1

2

的等差数列，
则

1

an

=

1

a1

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，
故有an=

2

n

．

点评：本题主要考查递推数列的应用，利用取倒数法是解决本题的关键，难度不大．