Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足

(2a-b)cosC

c

=cosB，且sinA•sinB=

3

4

．求证：△ABC为正三角形．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：已知第一个等式左边利用正弦定理化简，整理后求出cosC的值，进而确定出C的度数，得到A+B的度数，用A表示出B，代入第二个等式中，利用积化和差公式变形，整理求出A的值，进而求出B的度数，即可得证．

解答： 解：将

(2a-b)cosC

c

=cosB利用正弦定理化简得：

(2sinA-sinB)cosC

sinC

=cosB，即2sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB，
整理得：2sinAcosC=sinCcosB+sinBcosC=sinA（sinA≠0），
∴cosC=

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

π

3

，
∵A+B=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
∴sinA•sinB=sinAsin（

2π

3

-A）=-

cos 2π 3 -cos(2A- 2π 3 )

2

=

1

4

+

cos(2A- 2π 3 )

2

=

3

4

，
∴cos（2A-

2π

3

）=1，即2A-

2π

3

=0，
解得：A=

π

3

，
∴B=

π

3

，
则△ABC为正三角形．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，以及特殊角的三角函数值，熟练定理及公式是解本题的关键．