Question

已知数列{a_n}中，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，且a₂=2．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列，并求a_n；
（Ⅱ）设bn=3an，数列{b_n}的前n项和为S_n，若对任意n∈N^*，都有(n+1)(2Sn+3)≤λ•4n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把点（a_n，a_n+1）代入直线x-y+1=0，整理后得到数列{a_n}是等差数列，结合a₂=2求出首项，则等差数列的通项公式可求；
（Ⅱ）把a_n代入bn=3an，得到数列{b_n}是等比数列，求出其钱n项和，代入(n+1)(2Sn+3)≤λ•4n后分离参数λ，构造数列cn=3(n+1)(

3

4

)n(n∈N*)，求出数列{c_n}的最大项后得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上，
∴a_n-a_n+1+1=0，
即a_n+1-a_n=1（n∈N^*），
又a₂=2，
∴a₁=1．
因此，数列{a_n}是公差、首项均为1的等差数列，
通项公式为a_n=n（n∈N^*）；
（Ⅱ）由bn=3an及a_n=n（n∈N*），
得bn=3n（n∈N^*），其前n项和Sn=

3×(1-3n)

1-3

=

3n+1

2

-

3

2

，
又对任意n∈N^*，都有(n+1)(2Sn+3)≤λ•4n恒成立，
即(n+1)3n+1≤λ•4n，λ≥3(n+1)(

3

4

)n恒成立．
记cn=3(n+1)(

3

4

)n(n∈N*)，
由

cn≥cn-1 cn≥cn+1

，
即

3(n+1)( 3 4 )n≥3n( 3 4 )n-1 3(n+1)( 3 4 )n≥3(n+2)( 3 4 )n+1

，得2≤n≤3，
∴{c_n}的最大项为c2=c3=3×4×(

3

4

)3=

81

16

．
从而实数λ的取值范围为[

81

16

，+∞)．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等差关系的确定，训练了分离变量法和函数构造法，求解数列{c_n}的最大项是解答该题的关键，属难题．