Question

设a，b，c为实数，函数f（x）=x³-ax²-bx+c为R上的奇函数，且在区间[1，+∞）上单调．
（1）求a，b，c应满足的条件；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设x₀≥1，f（x₀）≥1，且f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可求a，b，c应满足的条件；
（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求函数f（x）的单调区间；
（3）利用换元法结合函数的单调性即可求解方程．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²-bx+c为R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-x³-ax²+bx+c=-x³+ax²+bx-c，
即-a=a，c=-c，解得a=c=0，
此时f（x）=x³-bx在区间[1，+∞）上单调，
即为R上的奇函数，为R上的奇函数，
则f′（x）=3x²-b≥0在[1，+∞）上恒成立，
胡b≤3x²在[1，+∞）上恒成立，即b≤3．
（2）∵f′（x）=3x²-b且b≤3，
∴若b≤0，则f′（x）=3x²-b≥0恒成立，此时函数单调递增，递增区间为（-∞，+∞），
若b＞0，由f′（x）=3x²-b＞0，得x＞

b 3

或x＜-

b 3

，此时函数单调递增，递增区间为（

b 3

，+∞）和（-∞，-

b 3

），
由f′（x）=3x²-b＜0，解得-

b 3

＜x＜

b 3

，此时函数单调递减，递减区间为（-

b 3

，

b 3

）．
（3）设f（x₀）=t，则t≥1，f（t）=x₀≥1，即有x₀³-bx₀=t且t³-bt=x₀，
两式相减得（x₀³-bx₀）-（t³-bt）=t-x₀，
即（x₀-t）（x₀²+x₀t+t²+1-b）=0，
∵t≥1，x₀≥1，b≤3，
∴x₀²+x₀t+t²+1-b≥1，
故x₀=t，即f（x₀）=x₀．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．