Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为

2 5

5

，F₁、F₂是椭圆的左、右两个焦点，B是上顶点，且

BF1

•

BF2

=-3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1且与圆O：x²+y²=

1

2

有公共点的直线l与椭圆交于点A、B，求|AB|的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c a = 2 5 5 a2cos∠F2BF1=-3 sin 1 2 ∠F2BF1= 2 5 5

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=x+m，由1与圆O：x²+y²=

1

2

有公共点，解得-1≤m≤1，联立

y=x+m x2 5 +y2=1

，得6x²+10mx+5m²-5=0，利用椭圆弦长公式能求出|AB|的取值范围．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率为

2 5

5

，
F₁、F₂是椭圆的左、右两个焦点，B是上顶点，且

BF1

•

BF2

=-3，
∴

c a = 2 5 5 a2cos∠F2BF1=-3 sin 1 2 ∠F2BF1= 2 5 5

，
解得a=

5

，c=2，b=1，
∴椭圆C的方程为：

x2

5

+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=x+m，
联立

y=x+m x2+y2= 1 2

，得4x²+4mx+2m²-1=0，
∵1与圆O：x²+y²=

1

2

有公共点，
∴△=16m²-16（2m²-1）≥0，
解得-1≤m≤1，
联立

y=x+m x2 5 +y2=1

，得6x²+10mx+5m²-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

5m

3

，x1x2=

5m2-5

6

，
∴|AB|=

(1+1)[(- 5m 3 )2-4• 5m2-5 6 ]

=

60-10m2 9

，
∵-1≤m≤1，
∴

5 2

3

≤|AB|≤

2 15

3

，
∴|AB|的取值范围是[

5 2

3

，

2 15

3

]．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查弦长的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．