Question

已知动圆过点M（-

3

，0），且与圆N：（x-

3

）²+y²=16相内切．
（Ⅰ）求动圆的圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）已知点A（2，0），点B（1，0），过点B且斜率为k₁（k₁≠0）的直线l与（Ⅰ）中的轨迹相交于C、D两点，直线AC、AD分别交直线x=3于E、F两点，线段EF的中点为Q．记直线QB的斜率为k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程,圆的切线方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）根据两圆内切的性质，算出动圆圆心到M，N的距离之和等于常数4，由此可得轨迹为以M，N焦点的椭圆，利用椭圆的基本概念加以计算即可得到所求轨迹方程．
（Ⅱ）设直线l：y=k₁（x-1），联立

y=k1(x-1) x2 4 +y2=1

，得（4k₁²+1）x²-8k₁²x+4k₁²-4=0，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x1+x2=

8k12

4k12+1

，x1 x2=

4k12-4

4k12+1

，直线AC的方程为：y=

y1

x1-2

(x-2)，直线AD的方程为：y=

y2

x2-2

(x-2)，令x=3，得k₂=

1

4

•

y1x2+y2x1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

，由此能证明k₁•k₂为定值-

1

4

．

解答： 解：（Ⅰ）圆N：（x-

3

）²+y²=16，圆心为N（

3

，0），半径为r=4，
设动圆与定圆切于点A
∵动圆过点M（-

3

，0），且与圆N：（x-

3

）²+y²=16相内切，
∴|PN|+|AP|=4，
∵|PA|=|PM|，
∴|PN|+|PM|=4（定值）＞|MN|=2

3

∴动点P的轨迹为以M、N为焦点的椭圆
由2a=4，c=

3

，得b=1
∴动圆的圆心P的轨迹方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵点A（2，0），点B（1，0），
过点B且斜率为k₁（k₁≠0）的直线l与

x2

4

+y2=1相交于C、D两点，
∴设直线l：y=k₁（x-1），
联立

y=k1(x-1) x2 4 +y2=1

，得（4k₁²+1）x²-8k₁²x+4k₁²-4=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x1+x2=

8k12

4k12+1

，x1 x2=

4k12-4

4k12+1

，
直线AC的方程为：y=

y1

x1-2

(x-2)，
直线AD的方程为：y=

y2

x2-2

(x-2)，
令x=3，得E（3，

y1

x1-2

），F（3，

y2

x2-2

），
∴Q（3，

1

2

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)），
∴k₂=

1 2 ( y1 x1-1 + y2 x2-1 )

2

=

1

4

•

y1x2+y2x1-2(y1+y2)

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

k1(x1-1)x2+k1(x2-1)x1-2[k1(x1-1)+k1(x2-1)]

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2k1x1x2-3k1(x1+x2)+4k1

x1x2-2(x1+x2)+4

=

1

4

•

2k1• 4k12-4 4k12+1 -3k1• 8k12 4k12+1 +4k1

4k12-4 4k12+1 - 16k12 4k12+1 +4

=

1

4

•

-4k1 4k12+1

4k12 4k12+1

=-

1

4k1

，
∴k₁•k₂=-

1

4

．
∴k₁•k₂为定值-

1

4

．

点评：本题给出动圆满足的条件，求圆心的轨迹方程．考查两直线斜率的乘积为定值的证明，考查了圆与圆的位置关系、椭圆的定义与标准方程和动点轨迹方程的求法等知识．