Question

已知曲线f（x）=x³在x=n（n∈N^*）处的切线与x轴的交点横坐标为a_n，则数列{

1

anan+1

}的前8项和为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：利用导数求出f（x）=x³在x=n处的切线方程，进一步求出切线与x轴的交点坐标得到a_n，代入

1

anan+1

整理后裂项，然后利用裂项相消法求得答案．

解答： 解：由f（x）=x³，得f′（x）=3x²．
∴f′（n）=3n²，
则f（x）=x³在x=n处的切线方程为y-n³=3n²（x-n），
取y=0，得x=

2n

3

．
即an=

2n

3

．
∴

1

anan+1

=

1

2n 3 • 2(n+1) 3

=

9

4

(

1

n

-

1

n+1

)．
则数列{

1

anan+1

}的前8项和为：

9

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

8

-

1

9

)=

9

4

(1-

1

9

)=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的和，是中档题．