Question

已知（

x

-

2

x

）ⁿ展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：
（1）n的值；
（2）展开式中含x³的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）根据T₃和 T₂的表达式，第三项的系数比第二项的系数大162，可得 4

C

2 n

=-2

C

1 n

+162，由此求得n的值．
（2）二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中含x³的项．

解答： 解：（1）∵T₃=

C

2 n

•4x

n-6

2

，T₂=

C

1 n

•（-2）•x

n-3

2

，由题意可得 4

C

2 n

=-2

C

1 n

+162，
解得n²=81，∴n=9．
（2）设第r+1项含x³的项，由于T_r+1=

C

r 9

•（-2）^r•x

9-3r

2

，
令

9-3r

2

=3，求得r=1，∴第二项为含x³的项：T₂=

C

1 9

•（-2）•x³=-18x³．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．