Question

已知

cosα+cosβ=- 3 2 a cosαcosβ= a2-1 4

，求cosα，cosβ．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：将第一个等式两边平方，利用完全平方公式化简，将第二个等式代入求出cos²α+cos²β的值，再利用完全平方公式求出cosα-cosβ的值，联立即可求出cosα与cosβ的值．

解答： 解：将cosα+cosβ=-

3

2

a两边平方得：（cosα+cosβ）²=cos²α+2cosαcosβ+cos²β=

3

4

a²，
将cosαcosβ=

a2-1

4

代入得：cos²α+cos²β=

3

4

a²-

a2-1

2

=

a2+2

4

，
∴（cosα-cosβ）²=cos²α-2cosαcosβ+cos²β=

a2+2

4

-

a2-1

2

=

4-a2

4

，
∴cosα-cosβ=

4-a2

2

或cosα-cosβ=-

4-a2

2

，
当cosα-cosβ=

4-a2

2

时，解得：cosα=

4-a2 - 3 a

4

，cosβ=-

3 a+ 4-a2

4

；
当cosα-cosβ=-

4-a2

2

时，解得：cosα=-

4-a2 + 3 a

4

，cosβ=

4-a2 - 3 a

4

．

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．