Question

已知f（x）=x²+|x-a|+1，g（x）=2x+t．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）当a=2时，若f（x）的图象恒在g（x）图象上方，求t的取值范围；
（3）求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数奇偶性的判断

专题：综合题

分析：①由偶函数用特值法确定a值，②由图象特征化为恒成立问题，③要进行讨论．

解答： 解（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（-1）=f（1），
    解得：a=0．
（2）∵f（x）的图象恒在g（x）图象上方，
∴x²+|x-2|+1＞2x+t恒成立，
     即t＜x²+|x-2|+1-2x恒成立，
     令g（x）=x²+|x-2|+1-2x，①x≥a时，f（x）=x²+x-a+1
     则g(x)min=

3

4

，因此t＜

3

4

．
（3）①x≥a时，f（x）=x²+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，
②x≤a时，f（x）=x²-x+a+1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

．
a≥

1

2

时，①中f(x)min=a2+1；②中f(x)min=a+

3

4

又因为a2+1≥a+

3

4

．则f(x)min=a+

3

4

．
同理，a≤-

1

2

时，f(x)min=-a+

3

4

．
-

1

2

＜a＜

1

2

时，f(x)min=a2+1

点评：此题综合性较强，相对较难．第一问特值法是常规题，第二问由数形结合思想转化为恒成立问题，再转化为最值；第三问应分类讨论．