Question

设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）恒不为0，当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，且f（3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

• A、（-3，0）∪（3，+∞）
• B、（-3，0）∪（0，3）
• C、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，构造函数F（x）=

f(x)

g(x)

，然后，判断得到该函数为奇函数，然后，求解导数，得到该函数值为负数时，自变量的取值，也是就是所求的不等式的解集．

解答： 解：设函数F（x）=

f(x)

g(x)

，
∵F（-x）=

f(-x)

g(-x)

=

-f(x)

g(x)

=-F(x)，
∴函数F（x）R上的奇函数，
当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，且f（3）=0，
∴F′（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

[g(x)]2

＞0，F（3）=0，
∴F（x）在（-∞，0）上为增函数，且F（-3）=0，
∴当x∈（-∞，-3）时，F（x）＜0，此时，f（x）g（x）＜0；
∵函数F（x）R上的奇函数，
∴当x∈（0，3）时，F（x）＜0，此时，f（x）g（x）＜0；
综上，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故选：D．

点评：本题重点考查了函数的奇偶性和单调性、函数的单调性与导数之间的关系等知识，属于中档题．