Question

设函数f（x）=bcosx+csinx的图象经过两点（0，1）和，对一切x∈[0，π]，|f（x）+a|≤3恒成立，则实数a的取值范围________．

Answer 1

[-2，1]
分析：依题意可求得b=1，c=，从而可根据x∈[0，π]，|f（x）+a|≤3恒成立，利用正弦函数的性质解决．
解答：依题意得：f（0）=bcos0+csin0=b=1，
f（）=bcos+csin=c=，
∴f（x）=cosx+sinx=2sin（x+）．
又x∈[0，π]，
∴≤x+≤，
∴-≤sin（x+）≤1，
∴-1≤2sin（x+）≤2，即-1≤f（x）≤2，
∴-2≤-f（x）≤1；
∵|f（x）+a|≤3恒成立，
∴-3≤f（x）+a≤3，
∴-3-f（x）≤a≤3-f（x）．
∴a≥[-3-f（x）]_max=-2且a≤[3-f（x）]_min=1，
∴-2≤a≤1．
∴实数a的取值范围为[-2，1]．
故答案为：[-2，1]．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查两角和与差的正弦函数与正弦函数的单调性，考查综合分析与应用能力，属于难题．