Question

设函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(

π

2

，1)．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间
（Ⅱ）若f(

π

12

)=

2

sinA，其中A是面积为

3 3

2

的锐角△ABC的内角，且AB=2，求AC和BC的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(

π

2

，1)，求出m，利用两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可得到函数的解析式，然后求出周期和单调增区间．
（Ⅱ）利用f(

π

12

)=

2

sinA，求出sinA，l利用面积为

3 3

2

，AB=2，求AC，余弦定理求出BC的长．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(

π

2

，1)
∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，∴m=1，∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，∴函数的最小正周期T=2π
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可得2kπ-

3π

4

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

4

，
∴y=f（x）的调递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

](k∈Z)．

（Ⅱ）因为f(

π

12

)=

2

sinA即f(

π

12

)=

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=sin

π

3

，
∵A是面积为

3 3

2

的锐角△ABC的内角，∴A=

π

3

，
∵S△ABC=

1

2

AB•ACsinA=

3

2

3

∴AC=3
由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•ACcosA=7

点评：本题是基础题，考查三角函数的正确、单调性、余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．