Question

若xyz≠0，x+y+z≠0，且

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

，
（1）求

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

；
（2）若去掉条件x+y+z≠0，结果如何？

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用合比定理可知

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

=2，从而易得

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=8；
（2）若去掉条件x+y+z≠0，需分类讨论：①当x+y+z≠0时与②x+y+z=0时，分别计算即可．

解答：解：（1）∵xyz≠0，x+y+z≠0，且

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

，
∵

y+z

x

=

z+x

y

=

x+y

z

=

(y+z)+(z+x)+(x+y)

x+y+z

=

2(x+y+z)

x+y+z

=2，
∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，
∴

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=

8xyz

xyz

=8；
（2）若去掉条件x+y+z≠0，需分类讨论：
①当x+y+z≠0时，结果同上，

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=8；
②x+y+z=0时，y+z=-x，z+x=-y，x+y=-z，
∴

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

=

(-x)•(-y)•(-z)

xyz

=-1；
∴

(y+z)(z+x)(x+y)

xyz

的值为8或1．

点评：本题考查综合法的应用，突出考查合比定理的应用，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于中档题．