Question

【题目】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点且B1M=2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN．
（1）求直线A1D与AM所成角的余弦值；
（2）求直线AD与平面ANM所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：建立空间直角坐标系如图．

可得 =（5，2，4）， =（0，8，﹣4），

∴ =（=0+16﹣16=0

∴ ⊥ ，

即直线A1D与AM所成角的余弦值为0

（2）解： ⊥AM， ⊥AN，∴ ⊥平面AMN，

∴ =（0，8，﹣4）是平面AMN的一个法向量，

又 =（0，8，0），| |=4 ，

| |=8， =64；

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴AD与平面AMN所成的角余弦值为

【解析】（1）建立空间直角坐标系，写出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角的余弦．（2）利用线面垂直的判断定理得到 ⊥平面AMN，利用向量的数量积公式求出法向量 与 所成角的余弦．
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，以及对空间角的异直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．