Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．
（1）其求函数f（x）的极值；
（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=2x﹣ ，令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，

所以f（x）的极小值为1，无极大值

（2）解：∵

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	_	0	+
f（x）	减	1	增

又∵k（x）=f（x）﹣g（x）=﹣2lnx+x﹣a，

∴k′（x）=﹣ +1，

若k′（x）=0，则x=2

当x∈[1，2）时，f′（x）＜0；

当x∈（2，3]时，f′（x）＞0．

故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．

∴ ，∴ ，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．

所以实数a的取值范围是：（2﹣2ln2，3﹣2ln3]

【解析】（I）先在定义域内求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；（2）先求出函数k（x）的解析式，然后研究函数k（x）在[1，3]上的单调性，根据函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，建立不等关系 ，最后解之即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．