Question

16．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足|$\overrightarrow{PM}$|=|$\overrightarrow{PN}$|，则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值是-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意知点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），
点P（0，1），点M（x₁，y₁），点N（-x₁，y₁），表示出$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$并求最小值即可．

解答 解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，
不妨设单位圆的圆心为O（0，0），如图所示；
点P（0，1），点M（x₁，y₁），则点N（-x₁，y₁），
-1≤y₁＜1，
∴$\overrightarrow{PM}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{PN}$=（-x₁，y₁-1），
${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=1．
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=-${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$-2y₁+1=2${{y}_{1}}^{2}$-2y₁=2${{（y}_{1}-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴当y₁=$\frac{1}{2}$时$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值是-$\frac{1}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了两个向量的数量积与二次函数的性质应用问题，是中档题．