Question

15．设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知T（t）=t³+at²+bt+c，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时，规定中午12：00相应的t=0，中午12：00以后相应的t取正数，中午12：00以前相应的t取负数（例如早上8：00对应的t=-4，下午16：00相应的t=4），若测得该物体在中午12：00的温度为60℃，在下午13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度在早上8：00与下午16：00有相同的变化率．
（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在上午10：00至下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？

Answer 1

分析 （1）由题意可得当t=0时，T（t）=60； 当t=1时，T（t）=58；T′（-4）=T′（4），由此求得待定系数a、b、c的值，可得函数的解析式．
（2）利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的最大值，从而得出结论．

解答 解：（1）由题意可得，T′（t）=3t²+2at+b，当t=0时，T（t）=60；
当t=1时，T（t）=58；T′（-4）=T′（4），
故有c=60，1+a+b+c=58，3•（-4）²+2a•（-4）+b=3•4²+2a•4+b，
解得a=0，b=-3，c=0，∴T（t）=t³ -3t+60，（-12≤t≤12）．
（2）该物体在上午10：00至下午14：00这段时间中（包括端点），即-2≤t≤2，T′（t）=3t²-3，
故当t∈[-2，-1）、（1，2]时，T′（t）=3t²-3＞0，函数单调递增；故当t∈[-1，1]时，T′（t）=3t²-3≤0，函数单调递减，
故当t=-1时，函数取得极大值为T（-1）=64，而区间[-2，2]的端点值T（-2）=58，T（2）=62，
故函数T（t）=t³+at²+bt+c在区间[-2，2]上的最大值为64，
故上午11点温度最高为64°．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，函数性质的应用，用待定系数法求函数的解析式，属于中档题．