Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作正三角形BCD，则AD的最大值为2a．

Answer 1

分析 如图所示，设BC=2x，由于△BCD是等边三角形，可得DE=$\sqrt{3}$x，在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$，AD=$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$+$\sqrt{3}$x，设x=acosθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，利用和差公式可得：AD=2a$sin（θ+\frac{π}{3}）$，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，
设BC=2x，
∵△BCD是等边三角形，∴DE=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$，
则AD=$\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}$+$\sqrt{3}$x，
设x=acosθ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
则AD=asinθ+$\sqrt{3}acosθ$
=2a$sin（θ+\frac{π}{3}）$，
∵$（θ+\frac{π}{3}）$∈$（\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}）$．
∴$sin（θ+\frac{π}{3}）$≤1，
∴AD≤2a，
因此AD的最大值为 2a．
故答案为：2a．

点评 本题考查了等边三角形的性质、三角函数的单调性、和差公式、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．