Question

16．观察①sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$；②sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=$\frac{3}{4}$；③sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=$\frac{3}{4}$，猜想一个一般的式子，并证明．

Answer 1

分析 观察所给的等式，写出结果sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=$\frac{3}{4}$，再进行证明即可．

解答 解：sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=$\frac{3}{4}$．
可以证明此结论是正确的，证明如下：
sin²α+cos²（30°+α）+sinα•cos（30°+α）
=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos（60°+2α）}{2}$+$\frac{1}{2}$[sin（30°+2α）-sin30°]
=1+$\frac{1}{2}$[cos（60°+2α）-cos2α]+$\frac{1}{2}$sin（30°+2α）-$\frac{1}{2}$
=1+$\frac{1}{2}$[-2sin（30°+2α）sin30°]+$\frac{1}{2}$sin（30°+2α）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$sin（30°+2α）+$\frac{1}{2}$sin（30°+2α）=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．