Question

5．设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₆x₁+log₂₀₁₆x₂+…+log₂₀₁₆x₂₀₁₅的值为（　　）

• A． -log₂₀₁₆2015
• B． -1
• C． （log₂₀₁₆2015）-1
• D． 1

Answer 1

分析 求出函数y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程，取y=0求得x_n，然后利用对数的运算性质得答案．

解答 解：由y=xⁿ⁺¹，得y′=（n+1）xⁿ，∴y′|_x=1=n+1，
∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
取y=0，得${x}_{n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．
∴${x}_{1}{x}_{2}…{x}_{2015}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×…×\frac{2015}{2016}=\frac{1}{2016}$，
则log₂₀₁₆x₁+log₂₀₁₆x₂+…+log₂₀₁₆x₂₀₁₅=$lo{g}_{2016}（{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{2015}）=lo{g}_{2016}\frac{1}{2016}=-1$．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了对数的运算性质，是中档题．