Question

已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．


（１）求四棱锥P－ABCD的体积；
（２）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（３）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

Answer 1

（１）（２）连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE（３）

试题分析：(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.                   1分
∴，即四棱锥P－ABCD的体积为.   3分
(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.                   4分
证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.          5分
∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC.          6分

又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.          7分
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC.
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.          8分
(3)解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.
∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.
∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角．                 10分
在Rt△ADE中，DF＝＝＝， ∴BF＝.          11分
又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得
cos∠DFB＝，                12分
∴∠DFB＝，           
即二面角D－AE－B的大小为.                     13分
解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，               9分

从而＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)．
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
，
由，取
由，取 11分
设二面角D－AE－B的平面角为θ，
则，    12分
∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为     .    13分
点评：本题先由三视图得到几何体的特征，把握住CD,CB,CP两两垂直，因此可借助于空间向量法判定线面的垂直关系与求解二面角