Question

8．若函数f（x）=$\frac{1-2a}{x+2}$在区间（-2，+∞）递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用定义法结合分式函数的性质进行求解即可．

解答 解：任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，…（2分）
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-2a}{{x}_{1}+2}$-$\frac{1-2a}{{x}_{2}+2}$=$\frac{（1-2a）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$．…（5分）
∵函数f（x）=$\frac{1-2a}{x+2}$在区间（-2，+∞）上为增函数，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．…（7分）
∵x₂-x₁＞0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴1-2a＜0，故a＞$\frac{1}{2}$．…（10分）
即实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．…（12分）

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用分式函数的性质以及函数单调性的定义是解决本题的关键．