Question

19．某地区2009年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年份	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号x	1	2	3	4	5
人均纯收入y	2.8	3.2	4.2	4.8	5

（1）用最小二乘法求y关于x的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2009年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的x的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．

解答 解：（1）由题意，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（2.8+3.2+4.2+4.8+5）=4，
∴b=$\frac{66-5×3×4}{55-5×{3}^{2}}$=0.6，a=4-0.6×3=2.2．
∴y关于x的线性回归方程为y=0.6x+2.2；
（2）由（1）知，b=0.6＞0，故2009年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，
平均每年增加0.6千元．
将2015年的年份代号x=7代入y=0.6x+2.2，得：y=0.6×7+2.2=6.4，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.4千元．

点评 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件．