Question

【题目】已知a是实常数，函数．

（1）若曲线在处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；

（2）若有两个极值点（），

①求证：；

②求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】

试题本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．第一问，求出的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；第二问，①依题意：有两个不等实根（），设，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：，变化，求得的增区间，通过导数，判断，设（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．

试题解析：（1）由已知可得，（x＞0），切点，

在x=1处的切线斜率为，

切线方程：，

把代入得：a=1；

（2）证明：①依题意：有两个不等实根（），

设则：（x＞0）

当a≥0时，有，所以是增函数，不符合题意；

当a＜0时：由得：，

列表如下：

依题意：，解得：，

综上可得，得证；

②由①知：，变化如下：

由表可知：在[x1，x2]上为增函数，所以：

又，故，

由（1）知：，（）

设（），则成立，所以单调递减，

故：，也就是,

综上所证：成立．