【题目】已知a是实常数,函数.
(1)若曲线在
处的切线过点A(0,﹣2),求实数a的值;
(2)若有两个极值点
(
),
①求证:;
②求证:.
【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析.
【解析】
试题本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值,主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法,注意函数的单调性的运用,属于中档题.第一问,求出的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线方程,代入点(0,﹣2),即可解得a;第二问,①依题意:
有两个不等实根
(
),设
,求出导数,讨论当a≥0时,当a<0时,求得函数g(x)的单调性,令极大值大于0,解不等式即可得证;②由①知:
,
变化,求得
的增区间,通过导数,判断
,设
(0<x<1),求得h(x)的单调性,即可得证.
试题解析:(1)由已知可得,(x>0),切点
,
在x=1处的切线斜率为
,
切线方程:,
把代入得:a=1;
(2)证明:①依题意:有两个不等实根
(
),
设则:
(x>0)
当a≥0时,有,所以
是增函数,不符合题意;
当a<0时:由得:
,
列表如下:
依题意:,解得:
,
综上可得,得证;
②由①知:,
变化如下:
由表可知:在[x1,x2]上为增函数,所以:
又,故
,
由(1)知:,
(
)
设(
),则
成立,所以
单调递减,
故:,也就是
,
综上所证:成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.已知空地的一边是直路,余下的外围是抛物线的一段弧,直路
的中垂线恰是该抛物线的对称轴(如图),点O是
的中点.拟在这个地上划出一个等腰梯形
区域种植草坪,其中
均在该抛物线上.经测量,直路
长为60米,抛物线的顶点P到直路
的距离为60米.设点C到抛物线的对称轴的距离为m米,到直路
的距离为n米.
(1)求出n关于m的函数关系式.
(2)当m为多大时,等腰梯形草坪的面积最大?并求出其最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知半径为
的圆
,圆心在
轴正半轴上,且与直线
相切.
(1)求圆的方程;
(2)在圆上,是否存在点
,满足
,其中,点
的坐标是
.若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由;
(3)若在圆上存在点
,使得直线
与圆
相交不同两点
,求
的取值范围.并求出使得
的面积最大的点
的坐标及对应的
的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形,AD//BC,且,BC⊥DC,∠BAD=60°,平面PAD⊥底面ABCD,E为AD的中点,△PAD为等边三角形,M是棱PC上的一点,设
(M与C不重合).
(1)求证:CD⊥DP;
(2)若PA∥平面BME,求k的值;
(3)若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°,求k的值.
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【题目】已知椭圆的标准方程为
,该椭圆经过点
,且离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆长轴上一点
作两条互相垂直的弦
.若弦
的中点分别为
,证明:直线
恒过定点.
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【题目】命题方程
表示双曲线;命题
不等式
的解集是
.
为假,
为真,求
的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析:由命题方程
表示双曲线,求出
的取值范围,由命题
不等式
的解集是
,求出
的取值范围,由
为假,
为真,得出
一真一假,分两种情况即可得出
的取值范围.
试题解析:
真
,
真
或
∴
真
假
假
真
∴范围为
【题型】解答题
【结束】
18
【题目】如图,设是圆
上的动点,点
是
在
轴上的投影,
为
上一点,且
.
(1)当在圆上运动时,求点
的轨迹
的方程;
(2)求过点且斜率为
的直线被
所截线段的长度.
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