Question

【题目】在数列与中，，，数列的前项和满足，.

（1）求，，，的值，猜测的通项公式，并证明之.

（2）求数列与的通项公式；

（3）设，.证明：.

Answer 1

【答案】（1），，，；猜测：，证明见解析（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）带值计算并作猜想，利用迭乘法或数学归纳法，可得结果.

（2）根据（1）的条件，利用与的关系，可得，根据与的关系，可得结果.

（3）根据（2）的结论，计算出，进一步得出，与2比较，可得结果.

（1）由题知：

，，，

猜测：

【法一】

∵∴

∴

,

即

【法二】

用数学归纳法证明如下：

当时，，等式成立.

假设时等式成立，

即，

当时，

∵∴

∴

（2）

由（1）知：，

∴

即

则

当时，也成立，

∴

∴

即

（3）

证明：当，时，

.

注意到

，

故

.

当，时，

即

当，时，

即

当，时，

即

∴，.

从而时，

有，

综上，当时有，即.