Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知半径为的圆，圆心在轴正半轴上，且与直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）在圆上，是否存在点，满足，其中，点的坐标是.若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；

（3）若在圆上存在点，使得直线与圆相交不同两点，求的取值范围.并求出使得的面积最大的点的坐标及对应的的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在点满足条件；（3），.

【解析】

试题分析：（1）设圆心坐标是，可根据点到直线距离公式求得，即可得到圆的方程；（2）假设存在这样的点，则有，然后判断与有无交点即可；（3）根据圆心到直线的距离小于半径即可求的取值范围，的面积表示为关于的函数，利用配方法可求最值.

试题解析：（1）设圆心是，它到直线的距离是，解得或（舍去）,所以,所求圆的方程是.

（2）假设存在这样的点，则由，得.

即，点P在圆D:上，点P也在圆C:上.

因为，所以圆C与圆D外离，圆C与圆D没有公共点.所以，不存在点满足条件.

（3）存在，理由如下：因为点在圆上，所以，且.

因为原点到直线的距离，解得

而，所以,

因为，所以当，即时，取得最大值，

此时点的坐标是或，的面积的最大值是.