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    【题目】已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．

    【答案】（1）;（2）．

    【解析】

    (1)根据已知得到方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先求直线MN的方程，，即得直线MN经过的定点，再讨论当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点．

    （1）解：∵点在椭圆上，∴，

    又∵离心率为，∴，∴，

    ∴，解得，，

    ∴椭圆方程为．

    （2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，

    联立，得，

    设，，则，，

    ∴，

    由中点坐标公式得，

    将的坐标中的用代换，得的中点，

    ∴直线的方程为，，

    令得，∴直线经过定点，

    当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．

    当时，过定点．

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    甲

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    38

    30

    37

    35

    31

    乙

    33

    29

    38

    34

    28

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    C.（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）

    D.（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）∪（1，4）

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