Question

20．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列（公比q＞1），b_n=log₂a_n，b₁+b₂+b₃=3，b₁b₂b₃=-3，则a_n=（　　）

• A． ${a_n}={2^{2n-3}}$
• B． ${a_n}={2^{5-2n}}$
• C． ${a_n}={2^{2n-5}}$
• D． ${a_n}={2^{2n-3}}$或${a_n}={2^{5-2n}}$

Answer 1

分析 设数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，则log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃=3，从而a₁a₂a₃=8，进而a₂=2．由b₁b₂b₃=-3，得log₂a₁•log₂a₂•log₂a₃=-3，从而log₂a₁•log₂a₃=-3，进而（log₂a₂-log₂q）（log₂a₂+log₂q）=-3，解得q=4，${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{1}{2}$，由此能求出结果．

解答 解：设数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
∵b₁+b₂+b₃=3，∴log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃=3，
∴log₂（a₁a₂a₃）=3，∴a₁a₂a₃=8，∴a₂=2．
∵b₁b₂b₃=-3，∴log₂a₁•log₂a₂•log₂a₃=-3，
∴log₂a₁•log₂a₃=-3，
∴${log_2}\frac{a_2}{q}•{log_2}（{a_2}•q）=-3$，
即（log₂a₂-log₂q）（log₂a₂+log₂q）=-3，
即（1-log₂q）（1+log₂q）=-3，解得log₂q=±2，
又∵q＞1，∴log₂q=2，解得q=4，${a}_{1}=\frac{{a}_{2}}{q}=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2}×{4}^{n-1}={2}^{2n-3}$．
故选：A．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列、对数性质及运算法则等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．