Question

3．设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（-x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，则m²+n²的取值范围是（　　）

• A． （9，25）
• B． （3，7）
• C． （9，49）
• D． （13，49）

Answer 1

分析 根据对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立，不等式可化为f（m²-6m+21）＜f（-n²+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得（m-3）²+（n-4）²＜4，确定（m-3）²+（n-4）²=4内的点到原点距离的取值范围，利用m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4内的点到原点距离的平方，即可求得m²+n² 的取值范围．

解答 解：∵对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立
∴f（-x）=-f（x）
∵f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，
∴f（m²-6m+21）＜-f（n²-8n）=f（-n²+8n），
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m²-6m+21＜-n²+8n
∴（m-3）²+（n-4）²＜4
∵（m-3）²+（n-4）²=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2，
∴（m-3）²+（n-4）²=4内的点到原点距离的取值范围为（5-2，5+2），即（3，7）
∵m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4内的点到原点距离的平方
∴m²+n² 的取值范围是（9，49）；
故选：C．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性，涉及圆的标准方程以及点与圆的位置关系，解题的关键是确定圆内的点到原点距离的取值范围．