Question

【题目】如图， 平面平面, 是等边三角形， 是的中点.

(1)证明： ；

(2)若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由是等边三角形， 是的中点，可得,利用直线与平面垂直的判定定理得出直线与平面垂直，再利用直线与平面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）以点为坐标原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴，过且与直线平的直线为轴，建立空间直角坐标系，根据直线与平面所成的角的余弦值为.可得，不妨设,利用向量垂直数量积为零，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值，进而可得正弦值.

试题解析：（1）因为是等边三角形， 是的中点，所以,因为平面平面，所以，因为,所以平面，因为平面，所以.

(2)解法1: 以点为坐标原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴，过且与直线平的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为平面，所以为直线与平面所成的角.

由题意得,,

即，从而.不妨设,又,则.

故.

于是,

设平面与平面的法向量分别为,

由令,得

由令,得.

.

.故二面角的正弦值为1.

(2)解法2： 平面为直线与平面所成的角.

由题意得,

即，从而.

不妨设,又,则， .

由于平面， 平面，则.

取的中点，连接，则.

在中， ,

在中， ,

在中， ,

取的中点，连接,则.

所以为二面角的平面角.

在中， ,

在中， ,

在中， ,

.

故二面角的正弦值为1.

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.