Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（1）过定点（1，0）且倾斜角为

3π

4

的直线l与圆Q相交于A，B两点，求线段AB的长；
（2）过坐标点（-1，-1）作圆Q的两条互相垂直的弦CD、EF，求CD+EF的长度最大值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆的一般方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）求出直线方程，根据直线和圆相交所得的弦长公式即可求线段AB的长；
（2）由于直线CD、EF均过M点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解．

解答： 解：（1）圆C的标准方程为（x-1）²+（y+2）²=9．得到圆心C（1，-2），半径r=3．
过点（1，0）且倾斜角为

3π

4

的直线l的斜率k=tan

3π

4

=-1，
则对应的方程为y=-（x-1），即x+y-1=0，
圆心到直线的距离d=

|1|

2

=

2

2

，
则线段AB=2

r2-d2

=2

9- 1 2

=

34

．
（2）∵坐标点（-1，-1）在圆内，
∴当CD的斜率为0或不存在时，可求得CD+EF=4

2

+2

5

，
当CD的斜率存在且不为0时，
设直线CD的方程为y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0
直线EF的方程为y+1=-

1

k

（x+1），即x+ky+k+1=0，
圆心到CD的距离d=

|2k+1|

1+k2

，圆心到EF的距离d=

|k-2|

1+k2

，
由弦长公式l=2

r2-d2

可得：CD=2

5k2-4k+8 1+k2

EF=2

8k2+4k+5 1+k2

，
∵CD²+EF²=4（

5k2-4k+8

1+k2

+

8k2+4k+5

1+k2

）=4×

13(k2+1)

1+k2

=52，
∴（CD+EF）²=CD²+EF²+2CD×EF≤2（CD²+EF²）=104
故CD+EF≤

104

=2

26

即AC+BD的最大值为2

26

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线方程的应用，基本不等式的应用，点到直线的距离公式，考查转化思想与计算能力，综合性较强，运算量较大，有一点的难度．