Question

4．双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点为F₁，F₂，P为C上任意一点，则以|PF₁|或|PF₂|为直径的圆与以实轴为直径的圆一定（　　）

• A． 相交
• B． 相离
• C． 相切
• D． 内含

Answer 1

分析 利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P分别在左、右两支时，利用两圆圆心距离和半径之间的关系判断两圆相内切、外切．

解答 解：设以实轴|F₁F₂|为直径的圆的圆心为O₁，其半径r₁=a，
线段PF₂为直径的圆的圆心为O₂，其半径为r₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$，
当P在双曲线左支上时，|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$，
∵r₂-|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$-$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$=a=r₁，
∴两圆内切．
当P在双曲线右支上时，
|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$，
∵|O₁O₂|-r₂=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$-$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$=a=r₁，
∴r₁+r₂=|O₁O₂|
∴两圆外切．
综上两圆相切，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用以及两圆位置关系的判断，利用双曲线的定义结合两圆位置关系的定义是解决本题的关键．注意要对P进行分类讨论．