Question

15．已知函数f（x）=2e^x，函数g（x）=k（x+1），若函数f（x）图象恒在函数g（x）图象的上方（没有交点），则实数的取值范围是（　　）

• A． k＞2
• B． k≥2
• C． 0≤k≤2
• D． 0≤k＜2

Answer 1

分析 作出函数的图象，利用导数的几何意义求出切线斜率，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：若函数f（x）图象恒在函数g（x）图象的上方（没有交点），
即f（x）-g（x）＞0恒成立，
即2e^x-k（x+1）＞0，
即2e^x＞k（x+1），
若k=0，满足条件，
若k＜0，则不满足条件．
则当k＞0时，g（x）=k（x+1）过定点（-1，0），
函数f（x）的导数为f′（x）=2e^x，
设切点为（a，b），则对应的切线斜率k=f′（a）=2e^a，
则对应的切线方程为y-2e^a=2e^a（x-a），
∵直线过点（-1，0），
∴-2e^a=2e^a（-1-a），
解得a=0，此时切线斜率k=f′（0）=2，
即此时k=2，
则解得0＜k＜2，
综上0≤k＜2，
故选：D

点评 本题主要考查函数图象关系的应用，利用导数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．