Question

（2012•广东）已知函数f(x)=Acos(

x

4

+

π

6

)，x∈R，且f(

π

3

)=

2

（1）求A的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f(4α+

4

3

π)=-

30

17

，f(4β-

2

3

π)=

8

5

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）将f(

π

3

)=

2

代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可解得A的值；
（2）先将f(4α+

4

3

π)=-

30

17

，f(4β-

2

3

π)=

8

5

代入函数解析式，利用诱导公式即可得sinα、cosβ的值，再利用同角三角函数基本关系式，即可求得cosα、sinβ的值，最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可

解答：解：（1）f(

π

3

)=Acos(

π

12

+

π

6

)=Acos

π

4

=

2

2

A=

2

，解得A=2
（2）f(4α+

4

3

π)=2cos(α+

π

3

+

π

6

)=2cos(α+

π

2

)=-2sinα=-

30

17

，即sinα=

15

17

f(4β-

2

3

π)=2cos(β-

π

6

+

π

6

)=2cosβ=

8

5

，即cosβ=

4

5

因为α，β∈[0，

π

2

]，
所以cosα=

1-sin2α

=

8

17

，sinβ=

1-cos2β

=

3

5

，
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

8

17

×

4

5

-

15

17

×

3

5

=-

13

85

．

点评：本题主要考查了三角变换公式在化简求值中的应用，诱导公式、同角三角函数基本关系式的应用，特殊角三角函数值的运用，属基础题