Question

（2012•广东）已知函数f(x)=2cos(ωx+

π

6

)（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f(5α+

5

3

π)=-

6

5

，f(5β-

5

6

π)=

16

17

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式ω=

2π

10π

=

1

5

解出参数ω的值；
（2）由题设条件，可先对f(5α+

5

3

π)=-

6

5

，与f(5β-

5

6

π)=

16

17

进行化简，求出α与β两角的函数值，再由作弦的和角公式求出cos（α+β）的值．

解答：解：（1）由题意，函数f(x)=2cos(ωx+

π

6

)（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π
所以ω=

2π

10π

=

1

5

，即ω=

1

5

所以f(x)=2cos(

1

5

x+

π

6

)
（2）因为α，β∈[0，

π

2

]，f(5α+

5

3

π)=-

6

5

，f(5β-

5

6

π)=

16

17

分别代入得2cos(α+

π

2

)=-

6

5

⇒sinα=

3

5

及2cosβ=

16

17

⇒cosβ=

8

17

∵α，β∈[0，

π

2

]
∴cosα=

4

5

，sinβ=

15

17

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=

4

5

×

8

17

-

3

5

×

15

17

=-

13

85

点评：本题考查了三角函数的周期公式及两角和与差的余弦函数，同角三角函数的基本关系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题．