Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=

1

log2an+1•log2an+2

，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1，n∈N^*．利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时，a₁=S₁”即可得出．
2）b_n=

1

n•(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1，n∈N^*．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．
当n=1时，a₁=S₁=2-1=1，上式也满足．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=

1

log2an+1•log2an+2

=

1

n•(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
则数列{b_n}的前n项和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了递推式的应用、对数的运算性质、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．