Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N^*）．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*）．b₃=5，其前9项和为63．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=

bn

an

+

an

bn

，数列{c_n}的前n项和为T_n，若对任意正整数n，都有T_n-2n∈[a，b]，求b-a的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N^*），变形

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，可得数列{

Sn

n

}是等差数列，利用等差数列的通项公式可得

Sn

n

，S_n=

n(n+1)

2

．再利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，当n=1时也成立”即可得出a_n．由于数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），可得数列{b_n}是等差数列，利用等差数列的通项公式及其前n选和公式即可得出．
（2）c_n=

bn

an

+

an

bn

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)，利用“裂项求和”可得：数列{c_n}的前n项和为T_n=3+2n-2(

1

n+1

+

1

n+2

)．设A_n=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)，可得数列{A_n}单调递增，得出：

4

3

≤An＜3．由于对任意正整数n，都有T_n-2n∈[a，b]，可得a≤

4

3

，b≥3，即可得出．

解答： 解：（1）∵2nS_n+1-2（n+1）S_n=n（n+1）（n∈N^*），∴

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=

1

2

，∴数列{

Sn

n

}是等差数列，首项为1，公差为

1

2

，∴

Sn

n

=1+

1

2

(n-1)，
∴S_n=

n(n+1)

2

．∴当n≥2时，Sn-1=

n(n-1)

2

，a_n=S_n-S_n-1=

n(n+1)

2

-

n(n-1)

2

=n，当n=1时也成立．∴a_n=n．
∵数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），∴数列{b_n}是等差数列，设公差为d，∵前9项和为63，∴

9(b1+b9)

2

=9b₅=63，解得b₅=7，又b₃=5，
∴d=

b5-b3

2

=1，∴b_n=b₃+（n-3）d=5+n-3=n+2，∴b_n=n+2．
因此：a_n=n，b_n=n+2．

（2）c_n=

bn

an

+

an

bn

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)，
∴数列{c_n}的前n项和为T_n=2n+2[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=2n+2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=3+2n-2(

1

n+1

+

1

n+2

)．
∴T_n-2n=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)．
设A_n=3-2(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∵A_n+1-A_n=3-2(

1

n+2

+

1

n+3

)-3+2(

1

n+1

+

1

n+2

)=2(

1

n+1

-

1

n+3

)＞0，
∴数列{A_n}单调递增，
∴（A_n）_min=A₁=

4

3

．
而A_n＜3，
∴

4

3

≤An＜3．
∵对任意正整数n，都有T_n-2n∈[a，b]，
∴∴a≤

4

3

，b≥3，
∴b-a的最小值=3-

4

3

=

5

3

．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及前n项和公式及其性质、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．