Question

已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．
（1）求证：

AP

PC

=

FA

AB

；
（2）若⊙O的直径AB=

5

+1，求tan∠CPE的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）由弦切角定理得∠CAP=∠APC，又∠C=∠C，从而△APC∽△FAC，由此能证明

AP

PC

=

FA

AB

．
（2）由切割线定理得AC²=CP•CF=CP（CP+PF），由PF=AB=AC=2，得CP=

5

-1，由此能求出tan∠CPE=tan∠F=

5 -1

2

．

解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，
∴∠CAP=∠APC，
又∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，
∴

AP

AF

=

PC

AC

=

PC

AB

，
∴

AP

PC

=

FA

AB

．
（2）解：∵AC切⊙O于点A，CPE为⊙O的割线，
则AC²=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，
解得CP=-1±

5

，∵CP＞0，∴CP=

5

-1，
∵∠OAF=∠F，∠B=∠F，
∴OAF=∠B，∴FA∥BE，∴∠CPE=∠F，
∵FP为直径，∴∠FAP=90°，
由（1）得

AP

FA

=

PC

AC

，
∴在Rt△FAP中，tan∠F=

AP

FA

=

PC

AC

=

5 -1

2

．
∴tan∠CPE=tan∠F=

5 -1

2

．

点评：本题考查线段比值相等的证明，考查角的正切值的求法，是中档题，解题时要注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．