Question

设不等式mx²-x+1＞0在区间（1，3）上对一切x恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件，进行参数分离法，结合二次函数的最值是解决本题的关键．

解答： 解：当x∈（1，3）时，不等式mx²-x+1＞0恒成立，
即mx²＞x-1，
即m＞

x-1

x2

=

1

x

-

1

x2

设t=

1

x

，∵x∈（1，3），∴t∈（

1

3

，1）．
则y=

1

x

-

1

x2

=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

，
∵t∈（

1

3

，1）．
∴当t=

1

2

时，函数y=t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

取得最大值

1

4

，
∴m＞

1

4

，
故答案为：（

1

4

，+∞）．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法，结合二次函数的性质是解决本题的关键．恒成立的问题一般与最值有关．