Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-sin²x+

3

2

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（

π

6

+

A

2

）=

5

4

，且a=2，b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=sin(2x+

π

6

)+1．再利用周期公式即可得出．
（2）由f（

π

6

+

A

2

）=

5

4

，可得sin(

π

3

+A+

π

6

)+1=

5

4

，解得cosA，由余弦定理可得：a²=c²+b²-2bccosA，解得c．再利用三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sinxcosx-sin²x+

3

2

=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

+

3

2

=sin(2x+

π

6

)+1．
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵f（

π

6

+

A

2

）=

5

4

，∴sin(

π

3

+A+

π

6

)+1=

5

4

，cosA=

1

4

，
由余弦定理可得：a²=c²+b²-2bccosA，
∴2²=c²+1²-2ccosA，
化为2c²-c-6=0，
解得c=2．
又sinA=

1-cos2A

=

15

4

．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

15

4

．

点评：本题考查了倍角公式、两角和差的正弦公式、余弦定理，三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．