Question

已知方程

1

3

x³-

1

2

x²-2x-m=0有三个不等实根，则m的取值范围是（　　）

• A、（-

  10

  3

  ，

  7

  6

  ）
• B、（-

  7

  6

  ，

  10

  3

  ）
• C、（7，20）
• D、（-

  13

  6

  ，

  10

  3

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：设y=

1

3

x³-

1

2

x²-2x，则y′=x²-x-2，由导数性质求出y_极小值=y|_y=2=-

10

3

，y_极大值=y|_y=-1=

7

6

，由此结合函数y=

1

3

x³-

1

2

x²-2x的性质能求出m的取值范围．

解答： 解：设y=

1

3

x³-

1

2

x²-2x，
y′=x²-x-2，
由y′=0，得x=-1，或x=2，
当x∈（-∞，-1）时，y′＞0；当x∈（-1，2）时，y′＜0；
当x∈（-1，+∞）时，y′＜0．
∴y=

1

3

x³-

1

2

x²-2x的增区间是（-∞，-1），（2，+∞），减区间是（-1，2）．
∴y_极小值=y|_y=2=-

10

3

，y_极大值=y|_y=-1=

7

6

，
∵方程

1

3

x³-

1

2

x²-2x-m=0有三个不等实根，
∴结合函数y=

1

3

x³-

1

2

x²-2x的性质知m的取值范围是（-

1

10

，

7

6

）．
故选：A．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．