Question

如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB²=FD•FA；
③AE•CE=BE•DE；
④AF•BD=AB•BF．
所有正确结论的序号是（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①②③
• D、①②④

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,命题的真假判断与应用

专题：直线与圆

分析：本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．

解答： 解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，
∴∠DBC=∠DAC．
∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，
∴∠FBD=∠BAF．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠DAC．
∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．
又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．
由

FB

FA

=

FD

FB

，FB²=FD•FA．即结论②成立．
由

BF

AF

=

BD

AB

，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．
正确结论有①②④．
故答案为D

点评：本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．