Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=

3

，求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，（2分）
EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，二面角D-AE-C为60°，
∴∠CMD=60°，
∵AP=1，AD=

3

，∠ADP=30°，
∴PD=2，
E为PD的中点．AE=1，
∴DM=

3

2

，
CD=

3

2

×tan60°=

3

2

．
三棱锥E-ACD的体积为：

1

3

×

1

2

AD•CD•

1

2

PA=

1

3

×

1

2

×

3

×

3

2

×

1

2

×1=

3

8

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．